UPSC प्रीलिम्स 2025 सी-सैट (Paper II · सेट A)

परिच्छेद तीन-तरफा परस्पर-विरोध को सामने रखता है: संरक्षण बनाम आजीविका बनाम वाणिज्यिक दोहन, और बताता है कि वनोन्मूलन से आजीविका तथा पर्यावरण दोनों को हानि होती है ("बाढ़, गाद, सूक्ष्म-जलवायवी अस्थिरता")।

• विकल्प A: परिच्छेद जैव-विविधता को महत्त्वपूर्ण मानता है; चिंता छोड़ देने की बात नहीं करता । ✗

• विकल्प B: परिच्छेद "मूल अधिकार" का ज़िक्र नहीं करता । ✗

• विकल्प C: आजीविका का दबाव और पारिस्थितिकी तंत्र का निम्नीकरण एक-दूसरे को तीव्र करते हैं; यही परिच्छेद का केंद्रीय परस्पर-विरोध है । ✓

• विकल्प D: परिच्छेद वाणिज्यिक दोहन पूर्णतः बंद करने की बात नहीं करता; केवल परस्पर-विरोधों को रेखांकित करता है । ✗

विकल्प C

• पूर्वधारणा I: परिच्छेद स्पष्ट कहता है कि वाणिज्यिक दोहन से "राष्ट्रीय आय में अति वृद्धि" की संभाव्यता है — यानी देश पारिस्थितिकी तंत्र पर निर्भर हैं । I के विपरीत । ✗

• पूर्वधारणा II: परिच्छेद देशों के बीच संसाधन-वितरण की कोई बात नहीं करता । कोई आधार नहीं । ✗

कोई भी पूर्वधारणा वैध नहीं ।

विकल्प D

परिच्छेद का सारांश: "शीघ्र प्रारंभ कर, क्रमिक रूप से चलना... विलंब से किया जाने वाला अंतरण ज्यादा महँगा पड़ता है ।" समय-चयन ही केन्द्रीय सूत्र है ।

• विकल्प A: बड़े पैमाने की किफायतें एक तंत्र हैं, केन्द्रीय सन्देश नहीं । ✗

• विकल्प B: बहुत सामान्य; परिच्छेद विशेष रूप से हरित प्रौद्योगिकी पर है । ✗

• विकल्प C: परिच्छेद वृहद् बनाम लघु अर्थव्यवस्थाओं की तुलना नहीं करता । ✗

• विकल्प D: शीघ्र बनाम विलंबित समय-चयन के तर्क को सीधे प्रतिबिंबित करता है । ✓

विकल्प D

• पूर्वधारणा I: परिच्छेद कहता है कि शीघ्र मार्ग-आश्रित निवेश से अर्थव्यवस्थाएँ "अधिक विघटन के बिना" लाभ उठाती हैं और विलंब महँगा पड़ता है — अर्थात् समय पर निवेश संवृद्धि और लोक वित्त दोनों को सहायता देता है । भारत जैसे विकासशील देश पर यह लागू है । ✓

• पूर्वधारणा II: परिच्छेद सौर ऊर्जा को घटती लागत वाले मार्ग-आश्रित प्रतिरूप का "सबसे प्रबल साक्ष्य" बताता है । यदि अन्य प्रौद्योगिकियाँ उसी प्रतिरूप का अनुसरण करें, तो अंतरण सरल होगा । ✓

विकल्प C

तीन गुणनखंडों को $N/a$, $N/b$, $N/c$ मानें । तब $1/a+1/b+1/c=1$, और $a,b,c$, $N$ के भिन्न भाजक होंगे ।

इस व्युत्क्रम समीकरण के धन पूर्णांक हल हैं:

• $(3,3,3)$

• $(2,4,4)$

• $(2,3,6)$

केवल $(2,3,6)$ से तीन भिन्न गुणनखंड मिलते हैं । अतः $N$, $6$ से विभाज्य होना चाहिए ।

$50$ से कम $6$ के गुणज हैं:

• $6,12,18,24$

• $30,36,42,48$

प्रत्येक में $N/2$, $N/3$, और $N/6$ लेने पर योग $N$ मिलता है ।

कुल $=8$ ।

विकल्प C

$p-q=q-r \Rightarrow p+r=2q$ (मध्य पद $q$ वाली समांतर श्रेढ़ी) । योग $=p+q+r=3q$ । 20 से कम अभाज्य: $\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$.

प्रत्येक अभाज्य $q$ के लिए:

• $q=2 \Rightarrow$ योग $=6$

• $q=3 \Rightarrow$ योग $=9$

• $q=5$: $(3,5,7)$ ✓ योग $=15$

• $q=7$: $(3,7,11)$ ✓ योग $=21$

• $q=11$: $(3,11,19),(5,11,17)$ ✓ योग $=33$

• $q=13$: $(7,13,19)$ ✓ योग $=39$

• $q=17 \Rightarrow$ योग $=51$

• $q=19 \Rightarrow$ योग $=57$

भिन्न योग: $\{6,9,15,21,33,39,51,57\}=8$ मान, जो 6 से अधिक हैं ।

विकल्प D

मान लें $p \le q \le r$ ।

• $p=1$ असंभव है, क्योंकि पहला पद ही $1$ हो जाएगा ।

• चूँकि $3/p \ge 1$, इसलिए $p \le 3$ ।

अतः $p=2$ या $p=3$ ।

स्थिति $p=3$:

• चाहिए $1/q+1/r=2/3$ ।

• $q,r \ge 3$ होने पर केवल $q=r=3$ ।

• योग $=9$ ।

स्थिति $p=2$:

• चाहिए $1/q+1/r=1/2$ ।

• $q=3 \Rightarrow r=6$, योग $=11$ ।

• $q=4 \Rightarrow r=4$, योग $=10$ ।

• $q \ge 5$ होने पर बायाँ पक्ष बहुत छोटा हो जाता है ।

भिन्न योग $9,10,11$ हैं ।

विकल्प C

क्रमिक पीछे की ओर अंतराल हर पद पर $1$ बढ़ता है: $0,1,2,3,4,5,6,7$ माह पीछे ।

• जनवरी $\to$ जनवरी: $-0$ ✓

• जनवरी $\to$ दिसंबर: $-1$ ✓

• दिसंबर $\to$ अक्टूबर: $-2$ ✓

• अक्टूबर $\to$ X: $-3 \Rightarrow$ X $=$ जुलाई

• जुलाई $\to$ मार्च: $-4$ ✓

• मार्च $\to$ अक्टूबर: $-5$ ✓

• अक्टूबर $\to$ Y: $-6 \Rightarrow$ Y $=$ अप्रैल

• अप्रैल $\to$ सितंबर: $-7$ ✓

विकल्प B

Y ने $20\times0.9=18$ ओवर में बराबरी की, अतः Y की वास्तविक दर $N/18$ है ।

यदि दर $50\%$ अधिक होती:

• नई दर $=1.5\times N/18$

• नई दर $=N/12$

इस दर पर $12$ ओवर में रन $N$ ही होंगे । यह हर $N$ के लिए सत्य है ।

दूसरी शर्त एक सर्वसमिका है; इससे $N$ का कोई निश्चित मान नहीं मिलता ।

विकल्प D

एक बार वृद्धि और फिर कमी करने का गुणक है:

• $(100+k)(100-k)/10^4$

• $(10^4-k^2)/10^4$

ऐसे दो चक्र हैं, इसलिए:

• $q$ को $p$ से भाग दें

• ऊपर दिए गुणक का वर्ग लें

$10^8$ से गुणा करने पर बराबरी है:

• बायाँ पक्ष: $p(10^4-k^2)^2$

• दायाँ पक्ष: $q\times10^8$

यही विकल्प A है ।

विकल्प A

परिच्छेद राज्य-विशिष्ट चुनौतियाँ (तटवर्ती, सूखे जिले, हिमालयी, प्रायद्वीपीय) सूचीबद्ध करता है और कहता है "इन परिप्रेक्ष्यों पर स्पष्ट और सतत लक्ष्य विकसित करने हेतु विचार आवश्यक है ।"

• विकल्प A: "अनिवार्य रूप से" राज्यों का उत्तरदायित्व — परिच्छेद केवल राज्यों की बात नहीं करता; अति-संकुचित । ✗

• विकल्प B: परिच्छेद रचनात्मक मार्ग सुझाता है, निराशा नहीं । ✗

• विकल्प C: परिच्छेद केवल केंद्र को नहीं चुनता । ✗

• विकल्प D: राज्य/क्षेत्र स्तर पर कार्यनीति की माँग — परिच्छेद का सीधा सन्देश । ✓

विकल्प D

• पूर्वधारणा I: परिच्छेद पवन शक्ति (हरित ऊर्जा) को "उत्सर्जन कम करने" का सुयोग बताता है — हरित ऊर्जा को न्यूनीकरण से सीधे जोड़ता है । वैध । ✓

• पूर्वधारणा II: परिच्छेद तटवर्ती, सूखे और हिमालयी क्षेत्रों की चुनौतियाँ समान रूप से बताता है — "कहीं अधिक गंभीर" नहीं कहता । अवैध । ✗

विकल्प A

परिच्छेद का मुख्य वाक्य: "असुरक्षा, गरीबी से भी अधिक, तीव्रतम रूप से महसूस की गई आर्थिक समस्या है" तथा "सरकारी नीतियों का लक्ष्य... इन असुरक्षाओं का न्यूनीकरण है ।"

• विकल्प A: सामाजिक असमानता को आर्थिक समस्या से मिलाता है; परिच्छेद इन्हें अलग रखता है । ✗

• विकल्प B: परिच्छेद कहता है असुरक्षा गरीबी से अधिक महसूस होती है, गरीबी कारण है यह नहीं कहता । ✗

• विकल्प C: "अनियंत्रणीय" परिच्छेद की बात (नीतियाँ निराकरण कर रही हैं) के विपरीत । ✗

• विकल्प D: परिच्छेद का सीधा प्रतिबिंब । ✓

विकल्प D

• पूर्वधारणा I: परिच्छेद कहता है "गरीबी रेखा के ठीक-ठीक ऊपर के लोग भी अनेक आर्थिक असुरक्षाओं से प्रभावित हैं ।" सीधे समर्थन । ✓

• पूर्वधारणा II: परिच्छेद सामाजिक असमानता और आर्थिक असुरक्षा को अलग समस्या मानता है; गरीबी उन्मूलन से सामाजिक समानता आएगी, यह नहीं कहता । अवैध । ✗

विकल्प A

यदि घन को $a\times b\times c$ बराबर घनाभों में काटा जाए, तो कटों की संख्या $a+b+c-3$ होती है ।

$abc=60$ के लिए निकटतम गुणनखंड-विभाजन सबसे कम कट देता है:

• $3\times4\times5=60$

• कट $=3+4+5-3=9$

अन्य अव्यवस्थित विभाजन बड़े योग देते हैं; जैसे $2\times5\times6$ में $10$ कट लगते हैं ।

कथन I: $9$ कट, अतः सही । ✓

बिना रंग वाले टुकड़े केवल भीतर के होंगे:

• संख्या $=(3-2)(4-2)(5-2)$

• संख्या $=1\times2\times3=6$

कथन II: $6$ बिना रंग वाले टुकड़े, अतः सही । ✓

विकल्प C

प्रतिरूप: $a*b=\sqrt{a^2+b^2}$, यानी पाइथागोरस त्रिक ।

• $7^2+24^2=625=25^2$ ✓

• $12^2+16^2=400=20^2$ ✓

• $16^2+63^2=4225=65^2$ ✓

अतः $16*63=65$ ।

विकल्प C

पुराना मासिक ईंधन: $2200/16 = 137.5$ L ।

पुराना खर्च: $137.5 \times 90 = ₹12{,}375$ ।

नई कीमत: $90 \times 1.10 = ₹99$/L ।

समान खर्च में नया ईंधन: $12{,}375 / 99 = 125$ L ।

नई दूरी: $125 \times 16 = 2000$ km ।

कमी: $2200 - 2000 = 200$ km ।

विकल्प B

हर मामले में भाजक और शेषफल का अंतर $2$ है:

• $3-1=2$

• $5-3=2$

• $6-4=2$

• $9-7=2$

अतः $N+2$, $3,5,6,9$ से विभाज्य है; इसलिए $90$ से विभाज्य है ।

लघुतम 4-अंकीय $N$ के लिए:

• $N+2\ge1002$

• $90\times11=990$ बहुत छोटा है

• $90\times12=1080$ ठीक है

अतः $N=1080-2=1078$ ।

विकल्प C

कथन I: $B$ और $E$ के बीच कोई निश्चित क्रम नहीं है ।

प्रति-उदाहरण:

• $A=1,B=2,C=1$

• $D=10,E=5,F=4$

• $G=H=3$

यह पूरी श्रृंखला को संतुष्ट करता है, लेकिन $B

कथन II: $S=T\le U=V$ से केवल $S\le V$ मिलता है । बराबरी संभव है ।

प्रति-उदाहरण:

• $P=6,Q=R=5$

• $S=T=4,U=V=4$

• $W=3$

यह पूरी श्रृंखला को संतुष्ट करता है, लेकिन $S=V$ है, $S

विकल्प D

विषम संख्याओं $1,3,5,\ldots,999$ का गुणनफल ।

• $5$ गुणनखंड है (और $15, 25, \ldots$ भी) — $5$ से विभाज्य ।

• सभी गुणक विषम — $2$ का गुणनखंड नहीं ।

अतः गुणनफल विषम और $5$ से विभाज्य $\Rightarrow$ इकाई अंक $=5$ ।

जाँच: $1 \times 3 \times 5 = 15$; $15 \times 7 = 105$; कोई भी विषम $\times 5 \to$ अंत में $5$ ।

विकल्प C

परिच्छेद कहता है कि कृषि में कभी उच्च-संवृद्धि की स्थिति नहीं आई, 1980 के दशक में केवल $3.5\%$ CAGR तक पहुँची, और उसके बाद गतिरोध रहा । इसके विपरीत, गैर-कृषि संवृद्धि 1980 से 2000 तक लगातार बढ़ती रही ।

• विकल्प A: सबसे निकट उपनिगमन: अर्थव्यवस्था-व्यापी लाभ कृषि तक अन्य क्षेत्रों की अपेक्षा धीमे पहुँचे । ✓

• विकल्प B: हरित क्रान्ति का उल्लेख नहीं है । ✗

• विकल्प C: अन्य देशों से तुलना नहीं की गई है । ✗

• विकल्प D: ग्राम-नगर प्रवसन का उल्लेख नहीं है । ✗

सावधानी: परिच्छेद में "आर्थिक सुधार" पद स्पष्ट रूप से नहीं आया है; फिर भी उपलब्ध विकल्पों में A सर्वोत्तम है ।

विकल्प A

परिच्छेद केवल अंतर का वर्णन करता है — किसी उपाय का उल्लेख या संकेत नहीं ।

• पूर्वधारणा I: वाणिज्यिक फ़सलें / निगम कृषि — उल्लेख नहीं । ✗

• पूर्वधारणा II: निःशुल्क बीमा / भारी उपदान — उल्लेख नहीं । ✗

परिच्छेद से कोई वैध निष्कर्ष नहीं ।

विकल्प D

परिच्छेद कहता है "एकल, रैखिक" परंपरा-आख्यान का विरोध हो रहा है; हथकरघे को केवल पारंपरिक रूप में प्रोत्साहित करने पर बड़ा वर्ग उसकी "उपेक्षा करना पसंद" करता है ।

• विकल्प A: हथकरघे को सीमित परंपरा-आख्यान से मुक्त करें — परिच्छेद के निदान से मेल । ✓

• विकल्प B: परिच्छेद परंपरा-आधार पर राज्य-सहायता का प्रश्न खड़ा करता है, समर्थन नहीं । ✗

• विकल्प C: आधुनिकीकरण की बात परिच्छेद नहीं करता । ✗

• विकल्प D: मशीन-निर्मित में बदलना हथकरघे की मूल अवधारणा के विरुद्ध । ✗

विकल्प A

• पूर्वधारणा I: परिच्छेद राज्य-सहायता के *आधार* (एकल परंपरा आख्यान) पर प्रश्न उठाता है, राज्य की भागीदारी पूर्णतः समाप्त करने की बात नहीं । ✗

• पूर्वधारणा II: परिच्छेद उपेक्षा का कारण आख्यान/प्रस्तुति को बताता है, उत्पादों के अनाकर्षक होने को नहीं । ✗

कोई वैध नहीं ।

विकल्प D

$9$ से विभाज्य होने पर $3$ से भी विभाज्य, अतः $9$ हटाने से समुच्चय नहीं बदलता । $1$–$100$ में $2, 3, 5, 7$ से अविभाज्य गिनें ।

समावेशन-अपवर्जन:

• एकल: $50+33+20+14 = 117$

• युग्म ($6,10,14,15,21,35$): $16+10+7+6+4+2 = 45$

• त्रिक ($30,42,70,105$): $3+2+1+0 = 6$

• चतुष्क ($210$): $0$

कम-से-कम एक से विभाज्य: $117 - 45 + 6 = 78$ ।

अविभाज्य: $100 - 78 = 22$ ।

विकल्प C

$x+y$ का महत्तम मान $8+7=15$ है ।

$x-y$ का न्यूनतम मान $4-7=-3$ है ।

अतः अपेक्षित अनुपात $15/(-3)=-5$ है ।

दिए गए संख्यात्मक विकल्प $6$, $15/2$, और $-15/2$ हैं । इनमें से कोई भी $-5$ नहीं है ।

विकल्प D

$p^2+k$ अभाज्य और $30$ से कम होना चाहिए ।

स्थिति $p=2$:

• $p^2=4$, इसलिए $k<26$ ।

• $k=3,7,13,19$ से $7,11,17,23$ मिलते हैं । ✓

• $k=5,11,17,23$ से $9,15,21,27$ मिलते हैं, जो संयुक्त हैं । ✗

स्थिति $p=3$:

• $p^2=9$, इसलिए $k<21$ ।

• $k=2$ से $11$ मिलता है । ✓

• अन्य संभव अभाज्य $k$ विषम हैं, इसलिए $9+k$ सम और $2$ से बड़ा होगा । ✗

स्थिति $p=5$:

• $k=2$ से $27$ मिलता है । ✗

• $k=3$ से $28$ मिलता है । ✗

$p\ge7$ के लिए $p^2>30$ ।

भिन्न $k$ मान $2,3,7,13,19$ हैं । कुल $=5$ ।

विकल्प B

$1001 = 7 \times 11 \times 13$ । प्रत्येक तत्व $1001$ का भाजक, यानी $\{7,11,13\}$ के उपसमुच्चय से चिह्नित — कुल $8$ भाजक ।

तीन-तत्व समुच्चय के लिए:

• $\mathrm{LCM}=1001$: उपसमुच्चयों का संघ $= \{7,11,13\}$

• $\mathrm{HCF}=1$: सर्वनिष्ठ $= \emptyset$

$8$ में से $3$ चुनना: $\binom{8}{3} = 56$ ।

त्यागने योग्य (किसी अभाज्य $i$ के लिए, सभी $3$ में $i$ नहीं अथवा सभी $3$ में $i$ हो):

• तीनों में $i$ नहीं: $\binom{4}{3} = 4$; $3$ अभाज्य $\Rightarrow 12$ ।

• तीनों में $i$ है: $4$; $3$ अभाज्य $\Rightarrow 12$ ।

• युग्म प्रतिच्छेद: $0$ ।

त्यागे $= 24$; वैध $= 56 - 24 = 32 > 8$ ।

विकल्प D

संख्याओं को लिखें:

• $PQR=100P+30+R$

• $PS=10P+S$

• $PPT=110P+T$

$PQR-PS=PPT$ से मिलता है:

• $R-S=20P+T-30$

स्थिति $P=1$: तब $R-S=T-10$, जहाँ $T=2,4,5$ ।

• $T=2$: केवल $(R,S)=(1,9)$, लेकिन $R=P$ । ✗

• $T=4$: वैध युग्म $(2,8)$ । ✓

• $T=5$: वैध युग्म $(2,7)$ और $(4,9)$ । ✓

स्थिति $P\ge2$: चूँकि $T\ge1$, इसलिए $R-S\ge11$, जो अंकों के लिए असंभव है ।

वैध $(R,S)$ युग्म $(2,8)$, $(2,7)$, और $(4,9)$ हैं । कुल $=3$ ।

विकल्प B

आवृत्ति ABBCCC (लंबाई 6) तीन बार $\to$ कुल 18 अक्षर ।

दिए से तुलना:

• खंड 1 (1–6): A B B C C C $\to$ दिया A B _ C C _ $\to$ रिक्त $3, 6$ = B, C

• खंड 2 (7–12): A B B C C C $\to$ दिया A _ B C C C $\to$ रिक्त $8$ = B

• खंड 3 (13–18): A B B C C C $\to$ दिया _ B B C _ C $\to$ रिक्त $13, 17$ = A, C

क्रम में भराव: B, C, B, A, C ।

विकल्प C

परिच्छेद का अंतिम वाक्य: "शिक्षण का पुनराविष्कार आवश्यक है" — नई शैलियों (समीक्षात्मक चिंतन, कार्यकलाप से सीखना) की माँग का सार ।

• विकल्प A: संसाधनों का उल्लेख नहीं । ✗

• विकल्प B: परिच्छेद "सरकारी नीतियों का अनुचर" बनने से सावधान करता है, पर सरकार के नियंत्रण से बाहर रहने की माँग नहीं करता । ✗

• विकल्प C: "कक्षा हटा देना" अत्यंत; परिच्छेद पुनराविष्कार माँगता है, उन्मूलन नहीं । ✗

• विकल्प D: "शिक्षण का पुनराविष्कार" से सीधा मेल । ✓

विकल्प D

• पूर्वधारणा I: परिच्छेद कहता है "समाज की नई माँगों और भविष्य के कार्यक्षेत्र के लिए... अपेक्षा है" — उच्च शिक्षा को नए विकास के साथ पंक्तिबद्ध होना चाहिए । वैध । ✓

• पूर्वधारणा II: निधियों/आवंटन का उल्लेख नहीं । अवैध । ✗

विकल्प A

परिच्छेद का मुख्य विचार पादप-से-पशु आहार परिवर्तन की अकुशलता है ।

• परिच्छेद: कुक्कुटों को खिलाई गई कैलोरी का केवल $16\%$ भाग ही वापस मिलता है; बड़े पशुओं में $5$–$7\%$ — कम फलदायीता का प्रत्यक्ष प्रमाण ।

• विकल्प A ✗ — परिच्छेद में किसी लोक नीति की माँग नहीं है ।

• विकल्प B ✓ — कैलोरी-पुनर्प्राप्ति के आँकड़ों से सीधे मेल खाता है: पशु-आधारित खाद्य पादप-आधारित से काफी कम फलदायी है ।

• विकल्प C ✗ — आहार में प्रतिस्थापन की कोई सिफ़ारिश नहीं ।

• विकल्प D ✗ — परिच्छेद असमानता का उल्लेख करता है, परंतु उसे *अपरिहार्य* नहीं कहता ।

— विकल्प B

पूर्वधारणा I: खाद्य उद्योगों को बदलती सामाजिक आवश्यकताओं के अनुरूप ढलना चाहिए ।

• परिच्छेद केवल अकुशलता बताता है; उद्योगों को क्या *करना चाहिए* — इसका कोई निर्देश नहीं । अवैध ।

पूर्वधारणा II: समृद्ध समाज अनाज के अप्रत्यक्ष (पशु-मध्यस्थ) उपयोग से कैलोरी हानि उठाते हैं ।

• परिच्छेद: समृद्ध समाज दाना पशुओं को खिलाते हैं; उन कैलोरियों का केवल $5$–$16\%$ ही वापस मिलता है । यही अप्रत्यक्ष-उपयोग हानि है । वैध ।

— विकल्प B

चूँकि $35=5\times7$, $35$ के प्रत्येक गुणनखंड के लिए एक $5$ और एक $7$ चाहिए।

गुणनफल का गुणनखंडन कीजिए:

• $7=7^1$

• $343=7^3$

• $385=5\times7\times11$

• $1000=2^3\times5^3$

• $2401=7^4$

• $77777=7\times11111$

7 की कुल घात: $1+3+1+0+4+1=10$

5 की कुल घात: $0+0+1+3+0+0=4$

छोटी संख्या $4$ है, इसलिए गुणनफल $35^4$ से विभाज्य है, पर $35^5$ से नहीं।

— विकल्प B

क्रमिक अनुपात देखिए (प्रत्येक पद ÷ पूर्व पद):

• $18/12 = 1.5$

• $36/18 = 2$

• $90/36 = 2.5$

अनुपात $0.5$ सार्व-अंतर वाली समांतर श्रेढ़ी में हैं । पीछे की ओर बढ़ाने पर:

• $12/X = 1.0 \Rightarrow X = 12$

• $X/24 = 0.5 \Rightarrow X = 12$ ✓

दोनों जाँचें एक ही मान देती हैं, अत: $X = 12$ ।

— विकल्प B

विपरीत दिशाओं में वृत्ताकार पथ पर सापेक्ष चाल $5+3=8$ चक्कर/घंटा होगी।

अतः वे 5:00 a.m. के बाद हर $1/8$ घंटे, यानी हर $7.5$ मिनट पर मिलेंगे।

5:00 के बाद मिलने के समय हैं:

• $7.5$, $15$, $22.5$, $30$, $37.5$, $45$

• $52.5$, $60$, $67.5$, $75$, $82.5$

• $90$, $97.5$, $105$, $112.5$, $120$

प्रश्न में 5:20 a.m. और 7:00 a.m. के बीच कहा गया है; सख्त अर्थ में 7:00 a.m. को नहीं गिना जाएगा। इसलिए मान्य मुलाक़ातें $22.5$ से $112.5$ मिनट तक हैं।

संख्या $=13$।

— विकल्प B

BODMAS के अनुसार प्रत्येक विकल्प की जाँच कीजिए:

• A (SPRQ): $60\div15+3\times20-4$ = $4+60-4=60$ ✗

• B (QRPS): $60-15\times3+20\div4$ = $60-45+5=20$ ✓

• C (QRSP): $60-15\times3\div20+4$ = $60-2.25+4=61.75$ ✗

• D (SPQR): $60\div15+3-20\times4$ = $4+3-80=-73$ ✗

केवल QRPS से $20$ प्राप्त होता है।

— विकल्प B

मान लीजिए ट्राम की चाल $T$ km/hr और लंबाई $L$ m है।

एक ही दिशा में आगे निकलने पर:

• X के लिए सापेक्ष चाल $T-3$ है।

• Y के लिए सापेक्ष चाल $T-4$ है।

ट्राम की लंबाई समान है, इसलिए समान रूपांतरण गुणक $5/18$ कट जाएगा:

• $8(T-3)=9(T-4)$

• $8T-24=9T-36$

• अतः $T=12$ km/hr।

अब X वाला मामला लीजिए:

• $L=9\times5/18\times8$

• $L=20$ m

— विकल्प C

यह संख्या केवल $1$ से बनी संख्याओं के वर्ग वाले मानक पैटर्न में है:

• $1^2=1$

• $11^2=121$

• $111^2=12321$

• $1111^2=1234321$

इसी पैटर्न को आगे बढ़ाने पर 9-अंकीय ऐसी संख्या का वर्ग दी गई संख्या है।

अतः $N=111111111$, जिसमें 9 अंक हैं।

पुष्टि: $N^2$ में $17$ अंक हैं, इसलिए $N$ में $9$ अंक होंगे।

— विकल्प B

परिच्छेद का केन्द्रीय कथन: व्यवहारपरक परिवर्तन निवल-शून्य का केवल आधा रास्ता है, और वह आधा भी कंपनियों/सरकारों से प्रोत्साहन (पूर्ति-पक्ष निवेश) माँगता है ।

• विकल्प A ✗ — परिच्छेद यह नहीं कहता कि अकेले घरेलू उत्सर्जन पर्याप्त हैं; वस्तुत: वह अधिकतम आधा कहता है ।

• विकल्प B ✓ — सीधे प्रतिबिंबित: न्यून-कार्बन व्यवहार के लिए प्रोत्साहन चाहिए ("कंपनियाँ और सरकारें अधिक प्रोत्साहन प्रदान करें") ।

• विकल्प C ✗ — परिच्छेद सस्ते *न्यून-कार्बन विकल्पों* की बात करता है, सामान्य वस्तुओं/सेवाओं की नहीं ।

• विकल्प D ✗ — विनिर्माताओं को सब्सिडी का कोई उल्लेख नहीं ।

— विकल्प B

पूर्वधारणा I: कंपनियों में पूर्ति-पक्ष निवेश से लोगों में न्यून-कार्बन व्यवहार आ सकता है।

• परिच्छेद कहता है कि पूर्ति-पक्ष निवेशों के माध्यम से प्रोत्साहन देकर न्यून-कार्बन विकल्पों को सस्ता और अधिक उपलब्ध बनाया जा सकता है। इससे न्यून-कार्बन व्यवहार को बल मिल सकता है। वैध।

पूर्वधारणा II: सरकार और कंपनियों के बिना लोग न्यून-कार्बन व्यवहार अपनाने में समर्थ नहीं हैं।

• परिच्छेद माँग-पक्ष न्यूनीकरण को बड़े स्तर पर प्राप्त करने के लिए प्रोत्साहनों की आवश्यकता बताता है। वह यह नहीं कहता कि लोग सरकार और कंपनियों के बिना स्वभावतः न्यून-कार्बन व्यवहार करने में असमर्थ हैं। अवैध।

अतः केवल I वैध है।

— विकल्प A

परिच्छेद: "सामग्रियों को पुनः उपयोग करने में समझदारी है" + बैटरी पुनर्चक्रण का उदाहरण $\Rightarrow$ सामग्रियों के लिए चक्रीय दृष्टिकोण समझदारी का है ।

• विकल्प A ✗ — "बिना ... संभव नहीं" अति-निरपेक्ष है; परिच्छेद असंभवता का दावा नहीं करता ।

• विकल्प B ✗ — "प्रत्येक क्षेत्र ... तत्काल" अति-कथन है; परिच्छेद एक उदाहरण (बैटरी) पर केन्द्रित है ।

• विकल्प C ✓ — "सतत संवृद्धि के लिए उपयोगी हो सकती है" परिच्छेद के नपे-तुले, व्यावहारिक स्वर से मेल खाता है ।

• विकल्प D ✗ — परिच्छेद उद्योगों के अस्तित्व को चक्रीय उपयोग पर निर्भर नहीं बताता ।

— विकल्प C

पूर्वधारणा I: वाहन फैक्टरियाँ चक्रीय अर्थव्यवस्था के उदाहरण हैं ।

• परिच्छेद कहता है कि बैटरियाँ फैक्टरी में *जानी चाहिए* — यह सिफ़ारिश है, वर्तमान प्रथा का वर्णन नहीं । वाहन फैक्टरियों को विद्यमान उदाहरण नहीं बताया गया । अवैध ।

पूर्वधारणा II: संवृद्धि चक्रीय खनिज-उपयोग से सुसंगत है ।

• परिच्छेद: उपभोग चार गुना हुआ (संवृद्धि) और "सामग्रियों को पुनः उपयोग करने में समझदारी है" — अर्थात् संवृद्धि और चक्रीय पुनः उपयोग साथ रह सकते हैं । पूरा तर्क इसी सुसंगतता पर टिका है । वैध ।

— विकल्प B

दरें टंकी के भाग प्रति मिनट में निकालिए।

• समुच्चय X: $70\%$ भाग $14$ मिनट में, अतः समुच्चय दर $=1/20$। प्रति नल $=1/400$।

• समुच्चय Y: $3/8$ भाग $6$ मिनट में, अतः समुच्चय दर $=1/16$। प्रति नल $=1/160$।

• समुच्चय Z: आधी टंकी $20$ मिनट में, अतः खाली करने की दर $=1/40$।

अब X के 10 नल, Y के 5 नल और Z के सभी नल खुले हैं:

• X की भरने की दर $10/400=1/40$।

• Y की भरने की दर $5/160=1/32$।

• Z की खाली करने की दर $1/40$।

X और Z एक-दूसरे को काट देते हैं। निवल भरने की दर $=1/32$ टंकी/मिनट।

आधी टंकी भरने का समय $=(1/2)/(1/32)=16$ मिनट।

— विकल्प D

सदैव $1^n=1$।

अब $2^n$ को modulo $4$ में देखिए:

• $n=1$ के लिए, $1^n+2^n=3$, इसलिए शेषफल $3$ है।

• $n\ge2$ के लिए, $2^n\equiv0\pmod4$, इसलिए शेषफल $1$ है।

अतः संभव शेषफल $3$ और $1$ हैं।

भिन्न शेषफलों की संख्या $=2$।

— विकल्प C

$P=QQQ=111Q$, जहाँ $Q$, $1$ से $9$ तक का कोई अंक है।

गुणनखंडन कीजिए:

• $111=3\times37$

• $481=13\times37$

इसलिए हर मान्य $P$ का $481$ के साथ सामान्य गुणनखंड $37$ है।

कोई अतिरिक्त गुणनखंड $13$ नहीं आएगा, क्योंकि $1$ से $9$ तक किसी भी अंक $Q$ के लिए $13$, $3Q$ को विभाजित नहीं करता।

अतः HCF $=37$।

— विकल्प C

समान लंबाई के खंडों में अंक गिनिए:

• $1$ से $9$: $9$ अंक (संचयी $9$) ।

• $10$ से $99$: $90 \times 2 = 180$ अंक (संचयी $189$) ।

• $100$ से आगे: प्रत्येक संख्या $3$ अंक देती है ।

शेष: $489 - 189 = 300$ अंक 3-अंकीय खंड में ।

$300 / 3 = 100$ — ठीक 100वीं 3-अंकीय संख्या, अर्थात् $199$ ।

$489$वाँ अंक 199 का अंतिम (तीसरा) अंक है, अर्थात् $9$ ।

— विकल्प D

प्रश्न में कोई नियम नहीं दिया गया कि कौन-सा संदिग्ध सत्य बोलता है या असत्य ("प्रत्येक एक सत्य-एक असत्य" या "निर्दोष सदा सत्य" का उल्लेख नहीं) । प्रत्येक स्थिति की आन्तरिक संगति जाँचिए:

• P दोषी है: P के दोनों कथन असत्य ("मैंने नहीं चुराया", "Q ने चुराया") । Q और R के कथन सत्य रहते हैं । संगत ✓

• Q दोषी है: P के दोनों कथन सत्य । Q का "मैंने नहीं चुराया" असत्य; "R ने नहीं चुराया" सत्य । संगत ✓

• R दोषी है: P का "Q ने चुराया" असत्य; Q का "R ने नहीं चुराया" असत्य; R के दोनों कथन असत्य । संगत ✓

तीनों स्थितियाँ आन्तरिक रूप से संगत हैं, अत: चोर का निश्चित निर्धारण संभव नहीं ।

— विकल्प D

अंकों का पैटर्न:

• $P=3$ का अर्थ है एक जीत और एक ड्रा।

• $R=1$ का अर्थ है एक ड्रा और एक हार।

• $Q=2$ या तो दो ड्रा से, या एक जीत और एक हार से हो सकता है।

पहले वह स्थिति जाँचिए जहाँ Q की एक जीत और एक हार है। तब P को Q से जीतना और R से ड्रा खेलना होगा, जबकि Q को R से जीतना होगा।

मान लीजिए P-Q का स्कोर $p-q$, P-R का $a-a$, और Q-R का $u-v$ है।

• P का कुल: $p+a=1$

• R का कुल: $a+v=1$

• Q, R से जीतता है, इसलिए $u>v$

यदि $a=0$, तो $p=1$ और $v=1$, पर Q के कुल गोल से $u\le1$ होगा; इसलिए $u>v$ असंभव है। यदि $a=1$, तो $p=0$ होगा, इसलिए P, Q से जीत नहीं सकता। अतः यह अंकों वाला पैटर्न असंभव है।

इसलिए Q के दो ड्रा ही होंगे: P-Q ड्रा, Q-R ड्रा, और P की R पर जीत।

मान लीजिए P-Q का स्कोर $a-a$, Q-R का $b-b$, और P-R का $p-r$ है।

• P का कुल: $a+p=1$

• Q का कुल: $a+b=1$

• R का कुल: $b+r=1$

• P, R से जीतता है, इसलिए $p>r$

एकमात्र मान्य हल है:

• P-Q: $0-0$

• P-R: $1-0$

• Q-R: $1-1$

इसलिए कथन I सत्य है और कथन II भी सत्य है।

— विकल्प C

परिच्छेद की शृंखला: उच्च-मूल्य फ़सलें *आनुवंशिकत: संशोधित* $\Rightarrow$ उपयोगी विविधताएँ हट गईं $\Rightarrow$ "एक साधारण बीमारी या अज्ञात बीमारी भी तहस-नहस कर सकती है" — अर्थात् ऐसी फ़सलों पर निर्भरता जोखिम पैदा करती है ।

• विकल्प A ✗ — अति-सामान्य; परिच्छेद का केन्द्र *जननिक संकुचन* है, मात्र उत्पादकता प्रभाव नहीं ।

• विकल्प B ✓ — सीधे चेतावनी को प्रतिबिंबित: संशोधित फ़सलों पर निर्भरता $\to$ संवेद्यता $\to$ संभव खाद्य असुरक्षा ।

• विकल्प C ✗ — परिच्छेद कृषि से इतर विविधीकरण की बात नहीं करता ।

• विकल्प D ✗ — परिच्छेद जंगली किस्मों से प्रतिस्थापन की सिफ़ारिश नहीं करता ।

— विकल्प B

पूर्वधारणा I: भूमंडलीय जलवायु परिवर्तन अनेक पादप रोगों को नए क्षेत्रों में पहुँचा सकता है।

• परिच्छेद कहता है कि जलवायु और वायुमंडलीय परिवर्तन कुछ पादप संक्रमणों को सभी जलवायु क्षेत्रों में अधिक आम बना सकते हैं। इससे नए क्षेत्रों में फैलाव समर्थित होता है। वैध।

पूर्वधारणा II: वर्तमान फ़सलों के जंगली संबंधियों की वैज्ञानिक समझ खाद्य सुरक्षा को सशक्त कर सकती है।

• परिच्छेद कहता है कि चयनात्मक प्रजनन से वे जननिक रूपांतरण हट गए हैं जो तुरंत उपयोगी नहीं थे; इससे फ़सलें परिवर्तन और रोगों के प्रति संवेदनशील हो गई हैं। जंगली संबंधी ऐसे जननिक रूपांतरणों का संभावित स्रोत हैं; उन्हें समझना खाद्य सुरक्षा को मजबूत कर सकता है। वैध।

अतः I और II दोनों वैध हैं।

— विकल्प C

परिच्छेद: विरोधी राजनीतिज्ञ को "तर्क और सुबुद्धि के मार्ग" पर रखते हैं; राष्ट्रीय एकता "राजनीतिक शक्ति के सम-संतुलन" पर टिकी है ।

• विकल्प A ✗ — परिच्छेद के विचार के ठीक विपरीत ।

• विकल्प B ✗ — परिच्छेद विरोधी पक्ष के "क्रांतिपूर्ण और परस्पर-विरोधी" होने के विरुद्ध स्पष्ट चेतावनी देता है ।

• विकल्प C ✗ — परिच्छेद *सुशासन* की बात करता है, शासक के *राजनीतिक अस्तित्व* की नहीं ।

• विकल्प D ✓ — दोनों भागों को समेटता है: विरोधीपक्ष अपरिहार्य है, और शक्ति-संतुलन से सुशासन आता है ।

— विकल्प D

पूर्वधारणा I: मजबूत विरोधीपक्ष तभी आवश्यक जब शासनाध्यक्ष उदासीन हो ।

• परिच्छेद कहता है कि विरोधी *सदैव* आवश्यक हैं — "वह कभी विरोधियों से रहित न हो" । शासनाध्यक्ष के दृष्टिकोण पर कोई शर्त नहीं । अवैध ।

पूर्वधारणा II: जितना आक्रामक विरोधीपक्ष $\Rightarrow$ उतना बेहतर शासन ।

• परिच्छेद विरोधीपक्ष के "क्रांतिपूर्ण और परस्पर-विरोधी" होने के विरुद्ध है; उसे *संतुलन* चाहिए, आक्रामकता नहीं । अवैध ।

— विकल्प D

दिया है: P, Q, R भाई-बहन हैं (P, Q और R का भाई) । S, R की माता; T, P का पिता । अत: S और T तीनों के माता-पिता हैं । P पुरुष है (भाई) । Q और R के लिंग निश्चित नहीं हैं ।

प्रत्येक की जाँच:

• I. S और T दंपति (समान संतानों के माता-पिता) ✓

• II. Q, T का *पुत्र* — Q का लिंग अज्ञात ✗ (पुत्री हो सकती है)

• III. T, Q का पिता — Q के लिंग की परवाह किए बिना T उसका जनक है ✓

• IV. S, P की माता ✓

• V. R, T की *पुत्री* — R का लिंग अज्ञात ✗

• VI. P, S का पुत्र — P पुरुष, S उसकी माता ✓

निश्चित सत्य: I, III, IV, VI = 4 कथन ।

— विकल्प C

वर्ण-स्थान $A=1, B=2, \ldots, Z=26$ का उपयोग कीजिए ।

• $N=14$, $O=15$, $T=20$, $E=5$, $S=19$ ।

कूट स्थानों का गुणनफल है:

• NO: $14 \times 15 = 210$ ✓

• NOT: $210 \times 20 = 4200$ ✓

• NOTE: $4200 \times 5 = 21000$ ✓

• NOTES: $21000 \times 19 = 399000$

— विकल्प A

दोनों कूटबद्धताओं से वर्ण→अंक मानचित्र बनाइए ।

FRANCE = 654321 =>
F=6, R=5, A=4, N=3, C=2, E=1 ।

GERMANY = 9158437 =>
G=9, E=1, R=5, M=8, A=4, N=3, Y=7 ।

साझा वर्णों (E=1, R=5, A=4, N=3) पर दोनों मेल खाते हैं । अब YEMEN को अक्षरश: पढ़िए:

• Y=7, E=1, M=8, E=1, N=3

• YEMEN = 71813

— विकल्प D

शर्तों का अनुवाद:

• $T \in \{1, 2, 3\}$ (ताकि $P = 3T$ एकल अंक, $\le 9$, और $T \ne 0$) ।

• $R \in \{0, 1, 2\}$ (ताकि $S = R + 7 \le 9$) ।

• $Q = R + 3$, $S = R + 7$ ।

$(T, P)$ और प्रत्येक $R$ की गणना:

$T = 1, P = 3$:

• $R=0$: $Q=3=P$ ✗

• $R=1$: $R=T$ ✗

• $R=2$: अंक $\{3,5,2,9,1\}$ सभी भिन्न ✓

$T = 2, P = 6$:

• $R=0$: $\{6,3,0,7,2\}$ ✓

• $R=1$: $\{6,4,1,8,2\}$ ✓

• $R=2$: $R=T$ ✗

$T = 3, P = 9$:

• $R=0$: $Q=3=T$ ✗

• $R=1$: $\{9,4,1,8,3\}$ ✓

• $R=2$: $S=9=P$ ✗

वैध गणना: $1 + 2 + 1 = \mathbf{4}$ ।

— विकल्प B

प्रति-दिन दरें निकालिए:

• X: $1/3$ कार्य $6$ दिनों में, इसलिए दर $=1/18$।

• Y: $1/3$ कार्य $8$ दिनों में, इसलिए दर $=1/24$।

• Z: $3/4$ कार्य $12$ दिनों में, इसलिए दर $=1/16$।

संयुक्त दर:

• $1/18=8/144$

• $1/24=6/144$

• $1/16=9/144$

• योग $=23/144$ प्रति दिन

$n$ दिनों में किया गया कार्य $=23n/144$।

Y अकेला $8\frac{2}{3}$ दिन, यानी $26/3$ दिन काम करता है।

इस दौरान Y का कार्य:

• $(26/3)\times(1/24)=26/72$

• $26/72=52/144$

कुल कार्य $1$ है:

• $23n/144+52/144=1$

• $23n=92$

• $n=4$

— विकल्प B

अनुक्रम के क्रमिक अंतर लीजिए:

• $3 - 1 = 2$

• $6 - 3 = 3$

• $11 - 6 = 5$

• $18 - 11 = 7$

• $X - 18 = ?$

• $42 - X = ?$

अंतर $2, 3, 5, 7$ पहली चार अभाज्य संख्याएँ हैं, अत: अगले दो $11$ और $13$ होने चाहिए:

• $X = 18 + 11 = 29$

• जाँच: $42 - 29 = 13$ ✓ (अगली अभाज्य)

— विकल्प C

परिच्छेद का प्रारंभ: "ऐसा कोई लोकतंत्र नहीं हुआ जो निगमित पूँजीवाद के बिना आर्थिक रूप से संवृद्ध हुआ हो" — आर्थिक संवृद्धि और लोकतंत्र दोनों से जोड़ा । फिर लाभ गिनाए: आधुनिकीकरण, रोज़गार, प्रतियोगिता, वंचितों का कल्याण ।

• विकल्प A ✓ — परिच्छेद के दोनों आधार-स्तंभों को समेटता है: आर्थिक संवृद्धि और लोकतंत्र ।

• विकल्प B ✗ — परिच्छेद आधुनिक राज्य के "राजनीतिक उद्देश्यों" की बात नहीं करता ।

• विकल्प C ✗ — परिच्छेद लोकतंत्रों की संवृद्धि की बात करता है, सामान्य रूप से राज्य के अस्तित्व की नहीं ।

• विकल्प D ✗ — परिच्छेद कहता है लोकतंत्र को निगमित पूँजीवाद चाहिए, उल्टा नहीं — *परस्पर* निर्भरता नहीं बताई गई ।

— विकल्प A

पूर्वधारणा I: निगमित पूँजीवाद श्रमिक बल की वृद्धि करता है और रोजगार के अधिक अवसर प्रदान करता है।

• परिच्छेद कहता है कि निगमित पूँजीवाद "रोज़गार सृजित" करता है और ग़ैर-सरकारी व्यवसाय को संवेग दिए बिना बेरोज़गारी की चुनौती का समाधान नहीं है। इससे अधिक रोजगार-अवसर और श्रम में अधिक भागीदारी समर्थित होती है। वैध।

पूर्वधारणा II: निर्धन और हाशिये पर स्थित वर्ग ट्रिकल-डाउन प्रभाव से लाभान्वित होते हैं।

• परिच्छेद कहता है कि जीवंत निगमित पूँजीवादी आधार से राज्य को अतिरिक्त राजस्व मिलता है, जिसका उपयोग वंचितों के कल्याण और अवसरों का अधिक समान धरातल बनाने में किया जा सकता है। इससे निर्धन और वंचित वर्गों तक लाभ पहुँचने की पूर्वधारणा समर्थित होती है। वैध।

अतः I और II दोनों वैध हैं।

— विकल्प C

परिच्छेद कहता है कि स्वैच्छिक संघ अपेक्षाकृत शक्तिहीन व्यक्ति और संभाव्य शक्तिशाली राज्य के बीच बफ़र का काम करते हैं।

• विकल्प A ✗ — परिच्छेद का मुख्य आशय यह नहीं है कि राज्य समूहों के विरुद्ध अपना संकल्प लागू करने में असमर्थ है।

• विकल्प B ✗ — यह संघ के भीतर कल्याण और व्यक्तित्व-विकास की बात है, बफ़र की भूमिका नहीं।

• विकल्प C ✓ — संघ व्यक्ति को अलग-थलग स्थिति से बाहर लाते हैं और उसे साझा प्रयास में भाग लेने का अवसर देते हैं; इसी से वे व्यक्ति और राज्य के बीच बफ़र बनते हैं।

• विकल्प D ✗ — परिच्छेद विभिन्न निष्ठाओं या लगावों की बात नहीं कर रहा।

— विकल्प C

कथन I: $N = 2$ लीजिए। 50% बढ़ाने पर: $2 \times 1.5 = 3$.

• $d(2) = 2$ (गुणनखंड 1, 2)

• $d(3) = 2$ (गुणनखंड 1, 3)

गुणनखंडों की संख्या अपरिवर्तित। ✓

कथन II: $N = 2$ लीजिए। 150% बढ़ाने पर: $2 \times 2.5 = 5$.

• $d(2) = 2$

• $d(5) = 2$ (गुणनखंड 1, 5)

गुणनखंडों की संख्या अपरिवर्तित। ✓

दोनों कथनों के स्पष्ट उदाहरण हैं। — विकल्प C

स्थान निर्देशांक: $A=(0,0)$, $B=(0,6)$, $C=(10,0)$, $D=(10,-6)$, $E=(5,-6)$, $F=(-9,6)$, $G=(-9,-6)$.

उपलब्ध मार्ग: AB, AC, CD, DE, BF, EG, FG.

मार्ग 1: D → C → A → B → F

• $CD=6$, $AC=10$, $AB=6$, $BF=9$

• कुल $=6+10+6+9=31$ km

मार्ग 2: D → E → G → F

• $DE=5$

• $EG=\sqrt{14^2+0}=14$ km

• $FG=12$

• कुल $=5+14+12=31$ km

दोनों संभव मार्गों से 31 km। — विकल्प C

घनों को पहचानिए:

• $64=4^3 \to 343=7^3$, अर्थात आधार $4 \to 7$

• $216=6^3 \to 729=9^3$, अर्थात आधार $6 \to 9$

प्रतिमान: $n$ का घन $\to (n+3)$ का घन।

$512=8^3$ के लिए: कूट $=(8+3)^3=11^3=1331$.

— विकल्प B

6 से मॉड लेने पर $9 \equiv 3$.

हर $n \ge 1$ के लिए:

• $9^n \equiv 3$

$9^3$ से $9^{100}$ तक:

• पदों की संख्या $=98$

• योग mod 6 $=98 \times 3$

• $98 \times 3=294$

• $294$, $6$ से विभाज्य है

शेषफल $=0$. — विकल्प A

1-अंक की संख्याएँ जिनके ठीक 4 गुणनखंड हैं:

• $6$: गुणनखंड $\{1,2,3,6\}$ → 4 ✓

• $8$: गुणनखंड $\{1,2,4,8\}$ → 4 ✓

शेष (1,2,3,4,5,7,9) के 1, 2 या 3 गुणनखंड हैं। लघुतम $=6$.

प्रश्न स्वयं ही अद्वितीय उत्तर 6 दे देता है — किसी कथन की आवश्यकता नहीं।

कथन I: 6 और 8 दोनों में 2 है, अतिरिक्त जानकारी नहीं।

कथन II: 6 की पुष्टि करता है, परन्तु लघुतम पहले ही 6 था।

किसी कथन के बिना भी उत्तर निकल आता है। — विकल्प D

$PP=11P$, $PQ=10P+Q$, और $RRSS=11(100R+S)$.

11 से भाग देने पर:

• $P(10P+Q)=100R+S$

$P \in \{1,2,3\}$ की जाँच करें:

• $P=1$: बायाँ पक्ष $\le 14$, असंभव

• $P=2$: बायाँ पक्ष $\le 48$, असंभव

• $P=3$: $Q=1,2,4$ जाँचें

$P=3$ के लिए:

• $Q=1$: मान $93$, असंभव

• $Q=2$: मान $96$, असंभव

• $Q=4$: मान $102$, इसलिए $R=1,S=2$ ✓

एकमात्र हल: $33 \times 34=1122$. अतः केवल प्रश्न से ही $Q=4$ मिल जाता है। किसी कथन की आवश्यकता नहीं। — विकल्प D

कथन I: P की बहनें R, S हैं — Q का उल्लेख नहीं। अपर्याप्त।

कथन II: R का पिता Q का भाई है — पर R का P से सम्बन्ध अज्ञात। अपर्याप्त।

दोनों मिलाकर: R, P की बहन है, अतः R का पिता = P का पिता। तब Q, P के पिता का सहोदर है।

किन्तु Q का लिंग नहीं बताया। 'Q का भाई' से सिद्ध होता है कि R का पिता पुरुष व Q का सहोदर है; Q पुरुष या स्त्री दोनों हो सकता है।

• Q पुरुष $\Rightarrow$ P का चाचा/ताऊ

• Q स्त्री $\Rightarrow$ P की बुआ

दोनों मिलकर भी निश्चित सम्बन्ध तय नहीं हो सकता। — विकल्प D

परिच्छेद स्पष्ट कहता है: 'उपभोग की विभिन्न मदों के लिए कीमत-वृद्धि अलग-अलग होती है' और एकल संख्या मात्र भारित समष्टि है; आगे 'CPI इन वर्गों में से प्रत्येक के लिए अलग-अलग होती है'। तर्कसम्मत निष्कर्ष यह है कि एकल संख्या अलग-अलग मद/वस्तु की वास्तविक कीमत-वृद्धि को सही-सही नहीं दिखा सकती।

• (a) परिच्छेद WPI व CPI दोनों की तटस्थ चर्चा करता है; CPI हटाने की सिफारिश कहीं नहीं। ✗

• (b) मदों में भिन्न कीमत-वृद्धि व समष्टि से उसका छुपना — मेल खाता है। ✓

• (c) वस्तु बनाम सेवा प्रतिनिधित्व की चर्चा नहीं। ✗

• (d) मुद्रास्फीति आँकड़ों को व्यर्थ कहीं नहीं कहा। ✗

— विकल्प B

परिच्छेद दो समानांतर विचार रखता है: विश्वास आवश्यक है — 'वैश्विक व्यवहार का सार', 'सामाजिक बाज़ार में परम वस्तु' — और इसमें स्वाभाविक ख़तरा है — 'दूसरों के प्रति सुभेद्य होना', 'धोखे का विषय बनने में तत्पर होना'।

• (a) परिच्छेद उद्यमवृत्ति में विश्वास माना है, अनुपस्थिति नहीं। ✗

• (b) विश्वास = विश्वास करने वाले की सुभेद्यता; विश्वसनीय व्यक्ति सर्वाधिक सुभेद्य हैं — ऐसा कहीं नहीं। ✗

• (c) अत्यन्त निरपेक्ष; हर आर्थिक क्रिया के लिए धोखे का संपर्क आवश्यक — ऐसा नहीं कहा। ✗

• (d) महत्त्व व ख़तरा — परिच्छेद की दोनों रेखाएँ। ✓

— विकल्प D

माना 10 मिनट शेष होने पर P के गोल $x$, तो Q के $x+3$.

कथन I: P और 4 गोल करता है, $P_{\text{अंतिम}}=x+4$. Q के अंतिम 10 मिनट के गोल अज्ञात $\Rightarrow$ $Q_{\text{अंतिम}}$ अज्ञात। अपर्याप्त।

कथन II: $Q_{\text{अंतिम}}=4$ पर $P_{\text{अंतिम}}$ अज्ञात। अपर्याप्त।

दोनों मिलाकर: $P_{\text{अंतिम}}=x+4$, $Q_{\text{अंतिम}}=4$. 10-मिनट बिंदु पर Q $=x+3 \le 4$, अतः $x \le 1$.

• $x=0$: $P=4$, $Q=4$ $\Rightarrow$ बराबरी, जीत नहीं

• $x=1$: $P=5$, $Q=4$ $\Rightarrow$ P जीता

दो भिन्न परिणाम संभव। दोनों मिलकर भी अपर्याप्त। — विकल्प D

व्यंजक को फैलाएँ:

• $(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$

• $4pq$ घटाने पर $(p-q)^2$ मिलता है

इसलिए व्यंजक ठीक तब धनात्मक है जब $p \ne q$.

किसी कथन के बिना, $p=q=2$ पर मान $0$ आता है, इसलिए प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता।

कथन I: $pपर्याप्त।

कथन II: $p>q$, इसलिए $p \ne q$ और मान धनात्मक है। पर्याप्त।

कोई भी कथन अकेला प्रश्न हल कर देता है। — विकल्प B

अनुपात की शर्त से मिलता है:

• $X/Y=Y/Z$

• इसलिए $Y^2=XZ$

कुल रन $37$ हैं; अनिर्णय दिखाने के लिए दो वैध उदाहरण पर्याप्त हैं।

• $(X,Y,Z)=(9,12,16)$: योग $=37$ और $12^2=9 \times 16$ ✓. यहाँ $I

• $(X,Y,Z)=(16,12,9)$: योग $=37$ और $12^2=16 \times 9$ ✓. यहाँ $III

दोनों सभी शर्तें पूरी करते हैं, पर क्रम अलग देते हैं। इसलिए क्रम निर्धारित नहीं किया जा सकता। — विकल्प D

$p+q=10$, अतः $pq=q(10-q)=10q-q^2$ — अधोमुखी परवलय, अधिकतम $q=5$ पर, $pq=25$.

मात्रा I: $p,q$ धन पूर्णांक। $q=5$ मान्य, $p=5$. अतः $I=25$.

मात्रा II: $p \ge -6, q \ge -4$, अतः $-4 \le q \le 16$. परवलय का शीर्ष $q=5$ इस सीमा के भीतर, अतः फिर $pq=25$. अतः $II=25$.

इसलिए $I=II=25$. — विकल्प C

मात्रा I: 11 क्रमागत पूर्णांक, प्रत्येक $\ge -5$. औसत न्यूनतम करने हेतु, यथासंभव छोटे प्रारंभ करें: $\{-5,-4,\ldots,5\}$.

• योग $=0$, औसत $=0/11=0$. अतः $I=0$.

मात्रा II: 11 क्रमागत ऋणेतर पूर्णांक। सबसे छोटा प्रारंभ $=0$, समुच्चय $\{0,1,\ldots,10\}$.

• 0 से प्रारंभ करते ही गुणनफल $=0$। (1 से आगे प्रारंभ करने पर गुणनफल धनात्मक व बड़ा होगा।) अतः $II=0$.

इसलिए $I=II=0$. — विकल्प C

औसत शर्त: $p+q+r=3k$.

दिया है: $p-k=k-q \Rightarrow p+q=2k$.

प्रतिस्थापन: $2k+r=3k \Rightarrow r=k$.

सत्यापन: $p=k+d$, $q=k-d$, $r=k$, औसत $=\frac{(k+d)+(k-d)+k}{3}=k$ ✓.

— विकल्प A

$0

कथन I: $x^2>x^3$?

• $x^2-x^3=x^2(1-x)$

• यहाँ $x^2>0$ और $1-x>0$

• इसलिए $x^2>x^3$ ✓

कथन II: $x>\sqrt{x}$?

$0

• $x^2

• इसलिए $x<\sqrt{x}$

अतः कथन II गलत है। ✗

केवल I सही है। — विकल्प A

दो संख्याएँ $n$ व $n+10$. इनके बीच 5 के गुणजों की गिनती:

• $n=5$ (5 का गुणज): 5 व 15 के बीच केवल $\{10\}$ → 1 संख्या

• $n=1$: 1 व 11 के बीच $\{5,10\}$ → 2 संख्याएँ

• $n=3$: 3 व 13 के बीच $\{5,10\}$ → 2 संख्याएँ

संख्या $n$ पर निर्भर — कभी 1, कभी 2।

• (a) 'केवल एक' — $n=1$ पर असफल। ✗

• (b) 'केवल दो' — $n=5$ पर असफल। ✗

• (d) कम से कम एक हमेशा होगी। ✗

• (c) 'एक से अधिक हो सकती हैं' — सच ($n=1$ पर 2)। ✓

— विकल्प C